Suite arithmético-géométrique

Intermédiaire
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Énoncé

Soit définie par et .

  1. Montrer que la suite définie par est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  2. Exprimer puis en fonction de .
  3. Calculer la limite de .
  4. Calculer .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, calcule $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_n$.
2 Indice 2
Une fois $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$ établi, tu as la raison $q = \dfrac{1}{2}$. Calcule ensuite $v_0$ avec la valeur de $u_0$, puis utilise la formule $v_n = v_0 \times q^n$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est géométrique, calcule en remplaçant par son expression, puis factorise pour faire apparaître .

Une fois établi, tu as la raison . Calcule ensuite avec la valeur de , puis utilise la formule .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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