Dans le triangle A B C , soit M le milieu de [ B C ] . La droite ( A M ) est la médiane issue de A . Exprimer A M en fonction de A B et A C . Application : A ( 0 , 0 ) , B ( 4 , 2 ) , C ( 2 , 6 ) . Calculer les coordonnées de M et de A M .

Médiane d'un triangle exprimée avec des vecteurs

Intermédiaire

Énoncé

Dans le triangle $A B C$ , soit $M$ le milieu de $[B C]$ . La droite $(A M)$ est la médiane issue de $A$ .

Exprimer $A M$ en fonction de $A B$ et $A C$ .
Application : $A (0, 0)$ , $B (4, 2)$ , $C (2, 6)$ . Calculer les coordonnées de $M$ et de $A M$ .

Indices

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1 Indice 1

Puisque $M$ est le milieu de $[BC]$, utilise la relation de Chasles pour décomposer $\overrightarrow{AM}$ en passant par le point $B$ : $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$.

2 Indice 2

Exprime maintenant $\overrightarrow{BM}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ (car $M$ est milieu), puis remplace $\overrightarrow{BC}$ par $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Pour l'application, les coordonnées du milieu se calculent par $M\left(\dfrac{x_B + x_C}{2}, \dfrac{y_B + y_C}{2}\right)$.

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Puisque $M$ est le milieu de $[B C]$ , utilise la relation de Chasles pour décomposer $A M$ en passant par le point $B$ : $A M = A B + B M$ .

Exprime maintenant $B M$ en fonction de $B C$ (car $M$ est milieu), puis remplace $B C$ par $A C - A B$ . Pour l'application, les coordonnées du milieu se calculent par $M (\frac{x _{B} + x _{C}}{2}, \frac{y _{B} + y _{C}}{2})$ .

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