Énoncé Soit β ∈ [ 2 π ; π ] tel que tan β = − 2 . Calculer cos β et sin β . Calculer l'expression cos β − 5 cos ( β − 2 π ) + 10 cos ( β + 2 π ) − 15 cos ( β + π ) + 20 cos ( β − π ) .

Détermination de sin β, cos β à partir de tan β = −2

Intermédiaire

Énoncé

Soit $β \in [\frac{π}{2}; π]$ tel que $tan β = - 2$ .

Calculer $cos β$ et $sin β$ .
Calculer l'expression $cos β - 5 cos (β - \frac{π}{2}) + 10 cos (β + \frac{π}{2}) - 15 cos (β + π) + 20 cos (β - π)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver $\cos\beta$ et $\sin\beta$, utilise la relation fondamentale $1 + \tan^2\beta = \dfrac{1}{\cos^2\beta}$. N'oublie pas que $\beta \in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$, donc fais attention aux signes !

2 Indice 2

Pour simplifier l'expression, transforme chaque cosinus en utilisant les formules d'angles associés : $\cos\left(\beta - \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\beta$, $\cos\left(\beta + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\beta$, $\cos(\beta \pm \pi) = -\cos\beta$. Ensuite regroupe les termes en $\cos\beta$ et $\sin\beta$.

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Pour trouver $cos β$ et $sin β$ , utilise la relation fondamentale $1 + tan^{2} β = \frac{1}{cos ^{2} β}$ . N'oublie pas que $β \in [\frac{π}{2}; π]$ , donc fais attention aux signes !

Pour simplifier l'expression, transforme chaque cosinus en utilisant les formules d'angles associés : $cos (β - \frac{π}{2}) = sin β$ , $cos (β + \frac{π}{2}) = - sin β$ , $cos (β \pm π) = - cos β$ . Ensuite regroupe les termes en $cos β$ et $sin β$ .

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