Démonstrations par équivalence

Difficile
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Énoncé

  1. Soit . Montrer que .

  2. Soient et deux réels positifs. Montrer que .

  3. Soient et deux réels positifs. Montrer que .

  4. Soient et deux réels positifs. Montrer que .

Indices

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1 Indice 1
Pour 1), remarque que $x^2+1 > 0$ pour tout $x$, donc tu peux multiplier l'inegalite des deux cotes sans changer le sens. Ramene tout d'un cote pour obtenir un trinome du second degre.
2 Indice 2
Pour 1), essaie de faire apparaitre un carre parfait comme $(x-1)^2$. Pour 2) et 4), pense a elever au carre des deux membres positifs, et pour 3), isole une des deux variables.
3 Indice 3
Pour 4), pose $u=\sqrt{x}$ et $v=\sqrt{y}$ puis cherche a ecrire l'expression comme une somme de deux carres.

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La méthode — par où commencer

Pour 1), remarque que pour tout , donc tu peux multiplier l'inegalite des deux cotes sans changer le sens. Ramene tout d'un cote pour obtenir un trinome du second degre.

Pour 1), essaie de faire apparaitre un carre parfait comme . Pour 2) et 4), pense a elever au carre des deux membres positifs, et pour 3), isole une des deux variables.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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