Pour tout réel m , on considère l'ensemble ( C m ) des points M ( x ; y ) tels que : x 2 + y 2 − 2 m x − 2 ( m + 1 ) y + 2 m 2 + 2 m = 0 . Montrer que pour tout m ∈ R , ( C m ) est un cercle dont on précisera le centre Ω m et le rayon R . Déterminer l'ensemble décrit par Ω m lorsque m parcourt R . Quels sont les cercles ( C m ) tangents à l'axe des abscisses ? Déterminer toutes les droites parallèles à la droite d'équation y = x et tangentes à tous les cercles ( C m ) .

Famille de cercles dépendant d'un paramètre

Difficile

Pour tout réel $m$ , on considère l'ensemble $(C_{m})$ des points $M (x; y)$ tels que : $x^{2} + y^{2} - 2 m x - 2 (m + 1) y + 2 m^{2} + 2 m = 0$ .

Montrer que pour tout $m \in R$ , $(C_{m})$ est un cercle dont on précisera le centre $Ω_{m}$ et le rayon $R$ .
Déterminer l'ensemble décrit par $Ω_{m}$ lorsque $m$ parcourt $R$ .
Quels sont les cercles $(C_{m})$ tangents à l'axe des abscisses ?
Déterminer toutes les droites parallèles à la droite d'équation $y = x$ et tangentes à tous les cercles $(C_{m})$ .

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1 Indice 1

Mets l'équation sous forme canonique en complétant le carré séparément en $x$ et en $y$.

2 Indice 2

Une fois sous la forme $(x-m)^2+(y-(m+1))^2=R^2$, identifie directement le centre $\Omega_m$ et le rayon.

3 Indice 3

Pour la question 2, exprime les coordonnées de $\Omega_m$ en fonction de $m$ et élimine $m$ pour obtenir une relation entre $x$ et $y$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Mets l'équation sous forme canonique en complétant le carré séparément en $x$ et en $y$ .

Une fois sous la forme $(x - m)^{2} + (y - (m + 1))^{2} = R^{2}$ , identifie directement le centre $Ω_{m}$ et le rayon.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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