Soit f ( x ) = ln ( x 2 + 1 ) . Calculer f ′ ( x ) . Calculer f ′′ ( x ) . Déterminer les points d'inflexion de la courbe de f (points où f ′′ change de signe).

Dérivées successives et points d'inflexion

Facile

Énoncé

Soit $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ .

Calculer $f^{'} (x)$ .
Calculer $f^{''} (x)$ .
Déterminer les points d'inflexion de la courbe de $f$ (points où $f^{''}$ change de signe).

Indices

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1 Indice 1

Pour dériver $f(x) = \ln(x^2+1)$, pense à la formule de dérivation d'une composée : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Ici, identifie d'abord $u$ puis calcule $u'$.

2 Indice 2

Pour $f''(x)$, tu dois dériver $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ avec la règle du quotient : $(\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Pose $u=2x$ et $v=x^2+1$, puis dérive chacun.

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Pour dériver $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ , pense à la formule de dérivation d'une composée : $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ . Ici, identifie d'abord $u$ puis calcule $u^{'}$ .

Pour $f^{''} (x)$ , tu dois dériver $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ avec la règle du quotient : $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Pose $u = 2 x$ et $v = x^{2} + 1$ , puis dérive chacun.

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