Tableau de variations complet et asymptotes

Intermédiaire
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Énoncé

Soit définie sur .

  1. Calculer les limites de f en , , et .
  2. Montrer que la droite est asymptote oblique à la courbe de f.
  3. Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
  4. Calculer et dresser le tableau de variations complet de f.
  5. Déterminer les extrema locaux de f.

Indices

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1 Indice 1
Pour les limites en $1^-$ et $1^+$, étudie le signe du numérateur $x^2-2x+3$ qui vaut $2$ en $x=1$, puis regarde comment le dénominateur $x-1$ s'approche de zéro par valeurs négatives puis positives.
2 Indice 2
Pour l'asymptote oblique, effectue la division euclidienne de $x^2-2x+3$ par $x-1$. Tu obtiendras $f(x) = x-1 + \dfrac{2}{x-1}$, ce qui te montre que $f(x)-(x-1)$ tend vers zéro à l'infini.

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La méthode — par où commencer

Pour les limites en et , étudie le signe du numérateur qui vaut en , puis regarde comment le dénominateur s'approche de zéro par valeurs négatives puis positives.

Pour l'asymptote oblique, effectue la division euclidienne de par . Tu obtiendras , ce qui te montre que tend vers zéro à l'infini.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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