Optimisation - Problème concret

Intermédiaire
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Énoncé

On veut fabriquer une boîte cylindrique sans couvercle, de volume fixé .

Soit r le rayon de la base (en cm) et h la hauteur (en cm).

  1. Exprimer h en fonction de r en utilisant la contrainte de volume.
  2. Exprimer la surface totale (base + surface latérale) en fonction de r seul.
  3. Calculer et déterminer la valeur de r qui minimise sur .
  4. Calculer la hauteur et la surface minimale correspondantes.

Indices

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1 Indice 1
Commence par exprimer la contrainte de volume : le volume d'un cylindre est $V = \pi r^2 h$. Puisque $V = 500\pi$, tu peux isoler $h$ en fonction de $r$.
2 Indice 2
Pour la surface totale, n'oublie pas que la boîte n'a pas de couvercle : additionne l'aire de la base ($\pi r^2$) et l'aire latérale ($2\pi r h$). Remplace ensuite $h$ par l'expression trouvée pour avoir $S(r)$.

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La méthode — par où commencer

Commence par exprimer la contrainte de volume : le volume d'un cylindre est . Puisque , tu peux isoler en fonction de .

Pour la surface totale, n'oublie pas que la boîte n'a pas de couvercle : additionne l'aire de la base () et l'aire latérale (). Remplace ensuite par l'expression trouvée pour avoir .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Tableau de variations complet et asymptotes Tous les exercices du chapitre Étude complète de f(x) = x + 1/x sur ]0, +∞[