Étude complète de f(x) = x + 1/x sur ]0, +∞[

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Énoncé

Soit définie sur .

  1. Calculer et étudier son signe sur .
  2. Dresser le tableau de variations complet de .
  3. Déterminer le minimum de et sa valeur.
  4. Étudier les asymptotes (en et en ).
  5. Tracer la courbe de .

Indices

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1 Indice 1
Pour calculer $f'(x)$, réécris d'abord $\dfrac{1}{x}$ sous la forme $x^{-1}$, puis dérive terme à terme en appliquant la formule de dérivation des puissances.
2 Indice 2
Une fois $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$ trouvée, mets au même dénominateur pour obtenir $\dfrac{x^2 - 1}{x^2}$. Le signe dépend alors du numérateur : quand est-ce que $x^2 - 1$ change de signe ?

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La méthode — par où commencer

Pour calculer , réécris d'abord sous la forme , puis dérive terme à terme en appliquant la formule de dérivation des puissances.

Une fois trouvée, mets au même dénominateur pour obtenir . Le signe dépend alors du numérateur : quand est-ce que change de signe ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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