TAF appliqué à $h(x) = \ln(x) + 2x$ sur $[1, e]$

Difficile
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Énoncé

Soit la fonction définie par sur l'intervalle . Montrez que la fonction respecte le théorème des accroissements finis et déterminez le point tel que .

Indices

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1 Indice 1
Vérifie d'abord les hypothèses du théorème : $h$ doit être continue sur $[1,e]$ et dérivable sur $]1,e[$ (c'est le cas car $\ln$ et les fonctions polynomiales sont régulières sur cet intervalle).
2 Indice 2
Calcule séparément $h(1)$, $h(e)$ et la dérivée $h'(x) = \dfrac{1}{x} + 2$.
3 Indice 3
Écris l'égalité du TAF $h(e)-h(1) = h'(c)\times(e-1)$ et isole $h'(c)$, puis résous $\dfrac{1}{c}+2 = h'(c)$ pour trouver $c$.

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La méthode — par où commencer

Vérifie d'abord les hypothèses du théorème : doit être continue sur et dérivable sur (c'est le cas car et les fonctions polynomiales sont régulières sur cet intervalle).

Calcule séparément , et la dérivée .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Problème d'optimisation Tous les exercices du chapitre Rolle pour $f(x) = x^2 - 4$ sur $[-2, 2]$ — vérification et application