Étude de $f(x) = (x-1)e^x + 1$ — Bac France 2024, Exercice 3

Exercice 3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^x+1$, de courbe $C_f$ dans un repère orthonormal. 1) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ ; interpréter graphiquement. 2) Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$. 3) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution réelle $x=0$. 4) Calculer $f^{\prime \prime }(x)$, étudier la convexité de $f$ et déterminer le(s) point(s) d'inflexion de $C_f$, puis écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'inflexion.