Problème complet : équation différentielle, suite et limite

Exercice 6

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime }-y=2x-1$.

1. Partie A — Résolution de (E)
   1. Résoudre l'équation homogène associée $(E_0)$ : $y^{\prime }-y=0$.
   2. Vérifier que la fonction $y_p(x)=-2x-1$ est une solution particulière de (E).
   3. En déduire la solution générale de (E).
   4. Déterminer la solution $f$ de (E) vérifiant $f(0)=0$.
2. Partie B — Étude de la fonction f
   1. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ selon les valeurs de $x$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
   2. Montrer que la droite (d) d'équation $y=-2x-1$ est asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty$.
3. Partie C — Suite associée

   On définit la suite $(u_n)$ par $u_n=f(n)$ pour tout entier naturel $n$.

   1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   2. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{e^n}$ et interpréter ce résultat.