Modélisation : évolution d'un stock dans une entreprise de Casablanca

Exercice 4 — Situation-problème

Une entreprise de distribution à Casablanca modélise l'évolution de son stock de marchandises (en milliers de dirhams) par une fonction S définie et dérivable sur $[0;+\infty [$, où t désigne le temps en mois.

Le gestionnaire constate que la variation instantanée du stock vérifie la relation :

$S^{\prime }(t)=-0,4\cdot S(t)+8$

Au démarrage (t = 0), le stock vaut 30 000 dirhams, soit $S(0)=30$.

1. Montrer que la fonction constante $g(t)=20$ est une solution de l'équation différentielle (E) : $y^{\prime }=-0,4y+8$.
2. En posant $u(t)=S(t)-20$, montrer que u vérifie l'équation différentielle (E') : $u^{\prime }=-0,4u$.
3. Résoudre (E') et en déduire l'expression de $S(t)$.
4. Déterminer la valeur du stock au bout de 5 mois. On donnera la valeur approchée à 0,01 près (on admet $e^{-2}\approx 0,135$).
5. Le gestionnaire affirme que le stock se stabilise à long terme à 20 000 dirhams. Confirmer ou infirmer cette affirmation en justifiant.