Solide composé : cône surmonté d'une demi-sphère

Exercice 5 – Solide composé et optimisation

Une entreprise de Casablanca fabrique des bouchons en plastique constitués d'un cylindre surmonté d'un cône de même rayon de base $r$. La hauteur totale du bouchon est fixée à $H=10$ cm. On note $h$ la hauteur du cône (partie supérieure) et $(H-h)$ la hauteur du cylindre (partie inférieure), avec $h\in ]0;10[$.

1. Exprimer le volume total $V(h)$ du solide en fonction de $r$ et $h$, puis en déduire que si $r$ est fixé, $V$ est une fonction affine de $h$. Que peut-on en conclure sur l'existence d'un extremum intérieur à $]0;10[$ ?
2. On impose maintenant que l'aire latérale totale du solide (latérale du cylindre + latérale du cône) soit égale à une constante $S=60\pi$ cm${}^2$. Exprimer $r$ en fonction de $h$ grâce à cette contrainte. (On note $l=\sqrt{r^2+h^2}$ l'apothème du cône.)
3. En substituant, montrer que la contrainte conduit à : $r=\frac{60\pi }{2\pi (H-h)+\pi \sqrt{r^2+h^2}}$, ce qui est implicite. Pour $h=6$ cm, calculer numériquement $r$ à partir de l'équation $2\pi r(H-h)+\pi rl=60\pi$, en posant $l=\sqrt{r^2+36}$. Résoudre l'équation en $r$ (on obtiendra une équation du second degré).
4. Avec les valeurs $h=6$ cm et $r$ trouvé à la question 3, calculer le volume du solide et l'aire totale (en incluant les deux disques de base du cylindre et la base du cône n'est pas fermée).