Limites en 0 et asymptotes d'une fonction rationnelle-trigonométrique

Exercice 1 — Limites et asymptotes

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par :

$f(x)=\frac{\sin (3x)+2x}{x}$

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. En déduire si $f$ est prolongeable par continuité en $0$, et préciser la valeur de ce prolongement.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. La courbe de $f$ admet-elle une asymptote horizontale en $+\infty$ ou en $-\infty$ ?
3. On pose $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(x)$ si $x\ne 0$, et $g(0)=5$. La fonction $g$ est-elle continue en $0$ ? Justifier.