Soit f la fonction définie par : f ( x ) = x − 1 x 2 − 1 si x  = 1 , et f ( 1 ) = 2 Calculer x → 1 lim f ( x ) . f est-elle continue en x = 1 ? Peut-on modifier la valeur de f ( 1 ) pour rendre f continue en 1 ? Si oui, quelle valeur ? Simplifier l'expression de f ( x ) pour x  = 1 et en déduire la nature de la courbe de f.

Continuité et prolongement par continuité

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Énoncé

Soit f la fonction définie par :

$f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ si $x \neq = 1$ , et $f (1) = 2$

Calculer $x \to 1 lim f (x)$ .
f est-elle continue en $x = 1$ ?
Peut-on modifier la valeur de $f (1)$ pour rendre f continue en 1 ? Si oui, quelle valeur ?
Simplifier l'expression de $f (x)$ pour $x \neq = 1$ et en déduire la nature de la courbe de f.

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer la limite, commence par factoriser le numérateur $x^2 - 1$ en utilisant l'identité remarquable $a^2 - b^2$. Tu pourras ensuite simplifier la fraction.

2 Indice 2

Après simplification, tu obtiens une expression beaucoup plus simple pour $x \neq 1$. Compare alors la limite trouvée avec la valeur $f(1) = 2$ pour vérifier la continuité.

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Pour calculer la limite, commence par factoriser le numérateur $x^{2} - 1$ en utilisant l'identité remarquable $a^{2} - b^{2}$ . Tu pourras ensuite simplifier la fraction.

Après simplification, tu obtiens une expression beaucoup plus simple pour $x \neq = 1$ . Compare alors la limite trouvée avec la valeur $f (1) = 2$ pour vérifier la continuité.

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