Soit f définie par f ( x ) = x 2 e x − 1 − x pour x  = 0 . Calculer x → 0 lim f(x). En déduire un prolongement par continuité de f en 0. Soit g ( x ) = x − 1 x 2 − 3 x + 2 pour x  = 1 . Prolonger g par continuité en 1. Pour h ( x ) = x + 2 + x − 1 3 , déterminer l'asymptote oblique en + ∞ et la position de la courbe.

Prolongement par continuité et asymptotes

Intermédiaire

Énoncé

Soit f définie par $f (x) = \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}}$ pour $x \neq = 0$ .

Calculer $x \to 0 lim$ f(x). En déduire un prolongement par continuité de f en 0.
Soit $g (x) = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ . Prolonger g par continuité en 1.
Pour $h (x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1}$ , déterminer l'asymptote oblique en $+ \infty$ et la position de la courbe.

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer la limite de $f$ en $0$, pense au développement limité de $e^x$ à l'ordre $2$ : $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$. Remplace dans le numérateur et simplifie.

2 Indice 2

Pour $g$, factorise le numérateur $x^2 - 3x + 2$ en cherchant ses racines. Tu pourras alors simplifier la fraction avant de calculer la limite en $1$.

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Pour calculer la limite de $f$ en $0$ , pense au développement limité de $e^{x}$ à l'ordre $2$ : $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ . Remplace dans le numérateur et simplifie.

Pour $g$ , factorise le numérateur $x^{2} - 3 x + 2$ en cherchant ses racines. Tu pourras alors simplifier la fraction avant de calculer la limite en $1$ .

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