Asymptotes et continuité d'une fraction rationnelle

Intermédiaire
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Énoncé

Soit .

  1. Factoriser le numérateur et le dénominateur.
  2. Déterminer le domaine de définition .
  3. Étudier les limites en et trouver l'asymptote horizontale.
  4. Étudier les limites aux points exclus du domaine.
  5. La discontinuité en est-elle évitable ? Si oui, donner le prolongement par continuité.

Indices

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1 Indice 1
Pour factoriser, cherche d'abord les racines : au dénominateur, résous $x^2 - x - 2 = 0$ en cherchant deux nombres dont la somme vaut $1$ et le produit $-2$. Au numérateur, calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ pour $2x^2 + 3x - 2$.
2 Indice 2
Une fois factorisé, tu auras $f(x) = \dfrac{(2x-1)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$. Pour savoir si la discontinuité en $x=2$ est évitable, regarde si le facteur $(x-2)$ se simplifie entre numérateur et dénominateur. Sinon, calcule la limite en $2$.

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La méthode — par où commencer

Pour factoriser, cherche d'abord les racines : au dénominateur, résous en cherchant deux nombres dont la somme vaut et le produit . Au numérateur, calcule le discriminant pour .

Une fois factorisé, tu auras . Pour savoir si la discontinuité en est évitable, regarde si le facteur se simplifie entre numérateur et dénominateur. Sinon, calcule la limite en .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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