Équation, transformations et carré ABCD

A) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$(E):z^2-2(1-\sqrt{2})z+2(2-\sqrt{2})=0$

B) On pose $u=1-\sqrt{2}-i$.

1. Calculer $|u|$.

2. Montrer que $(1+i)u=-\sqrt{2}\overline{u}$.

3. En déduire que $\arg (u)\equiv \frac{11\pi }{8}[2\pi ]$, puis montrer que $u^8$ est un réel.

C) On considère les points $E$, $F$, $G$ d'affixes $z_E=1+i$, $z_F=1-i$, $z_G=-i\sqrt{3}$.

1. $N$ est l'image de $F$ par l'homothétie $h$ de centre $G$ et de rapport $2$. Montrer que $z_N=2+i(\sqrt{3}-2)$.

2. $R$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$ ; $A=R(G)$ et $C=R(N)$. Déterminer $z_A$ et $z_C$.

3. $T$ est la translation de vecteur d'affixe $2i$ ; $B=T(N)$ et $D=T(G)$. Déterminer $z_B$ et $z_D$.

4. a) Montrer que $E$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. b) Vérifier que $\frac{z_C-z_E}{z_B-z_E}=i$ et en déduire la nature du triangle $BCE$. c) Conclure que $ABCD$ est un carré.