Intersection de sous-groupes

Intermédiaire
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Énoncé

Soient (G, ∗) un groupe et , deux sous-groupes de G.

  1. Démontrer que est un sous-groupe de G.
  2. Est-ce que est toujours un sous-groupe ? Donner un contre-exemple.
  3. Démontrer que est un sous-groupe ou .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $H_1 \cap H_2$ est un sous-groupe, vérifie d'abord qu'il n'est pas vide en cherchant un élément qui appartient forcément aux deux sous-groupes.
2 Indice 2
Prends maintenant deux éléments quelconques $x, y \in H_1 \cap H_2$. Utilise le fait qu'ils appartiennent à la fois à $H_1$ et à $H_2$ pour montrer que $x * y^{-1} \in H_1 \cap H_2$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est un sous-groupe, vérifie d'abord qu'il n'est pas vide en cherchant un élément qui appartient forcément aux deux sous-groupes.

Prends maintenant deux éléments quelconques . Utilise le fait qu'ils appartiennent à la fois à et à pour montrer que .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Morphisme de groupes Tous les exercices du chapitre Groupe des racines n-ièmes