Transport de structure par un isomorphisme On munit ] 0 ; + ∞ [ de la loi ∗ définie par : ∀ x , y ∈ ] 0 ; + ∞ [ : x ∗ y = x 2 + y 2 Soit f l'application de ] 0 ; + ∞ [ dans ] 0 ; + ∞ [ définie par f ( x ) = x 2 . Montrer que f est un isomorphisme de ( ] 0 ; + ∞ [ , ∗ ) vers ( ] 0 ; + ∞ [ , + ) . En déduire que ∗ est commutative et associative. La loi ∗ admet-elle un élément neutre ? Calculer f ( 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ⋯ ∗ n ) pour n ∈ N ∗ .

Isomorphisme et somme de carrés

Difficile

On munit $] 0; + \infty [$ de la loi $*$ définie par :

$\forall x, y \in] 0; + \infty [: x * y = x^{2} + y^{2}$

Soit $f$ l'application de $] 0; + \infty [$ dans $] 0; + \infty [$ définie par $f (x) = x^{2}$ .

Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(] 0; + \infty [, *)$ vers $(] 0; + \infty [, +)$ .
En déduire que $*$ est commutative et associative.
La loi $*$ admet-elle un élément neutre ?
Calculer $f (1 * 2 * 3 * \dots * n)$ pour $n \in N^{*}$ .

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1 Indice 1

Pour montrer que $f$ est un isomorphisme, calcule $f(x*y)$ et compare-le à $f(x)+f(y)$.

2 Indice 2

Une fois l'égalité $f(x*y)=f(x)+f(y)$ établie, utilise le fait que $f$ est bijective pour transporter les propriétés de $(+)$ vers $(*)$.

3 Indice 3

Pour la dernière question, utilise la relation de morphisme de façon répétée pour transformer $f(1*2*\\cdots*n)$ en une somme connue.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour montrer que $f$ est un isomorphisme, calcule $f (x * y)$ et compare-le à $f (x) + f (y)$ .

Une fois l'égalité $f (x * y) = f (x) + f (y)$ établie, utilise le fait que $f$ est bijective pour transporter les propriétés de $(+)$ vers $(*)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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